贝叶斯滤波与卡尔曼滤波

「贝叶斯滤波用似然 × 先验求最大后验（MAP）」，和「卡尔曼滤波用联合高斯分布求条件后验」，不是两种不同的估计思路，而是线性高斯假设下，同一个贝叶斯推断的两种等价实现方式。

贝叶斯滤波在理论上非常完美（融合了全概率公式与贝叶斯推断），但它是一个包含了无穷积分的连续函数表达。在实际工程和计算机中，我们不可能遍历连续空间去硬算积分（维度灾难）。

卡尔曼滤波没有推翻贝叶斯框架，而是给贝叶斯滤波加了两个极强的、但在工程中可近似满足的约束，直接解决了上面的 “无解困境”：

1.线性系统假设：运动方程和观测方程都是线性的

2.全链路高斯假设：初始状态、过程噪声、观测噪声，全部服从零均值高斯分布

这两个假设带来了一个颠覆性的数学特权：高斯分布在线性变换下是闭合的。只要初始状态是高斯的，经过线性运动方程传播的先验分布、观测方程对应的似然分布、最终的后验分布，全都是高斯分布。

而一个高斯分布，完全由它的均值μ和协方差矩阵Σ两个量决定 —— 我们不需要求解整个复杂的概率密度函数，只需要递推这两个矩阵，就能完全确定后验分布。

此时便可以用联合高斯分布求条件分布。利用联合高斯分布的核心性质：若两个随机变量x和y服从联合高斯分布，则它们的条件分布p(x∣y)仍然是高斯分布，且可以通过联合协方差矩阵的舒尔补，直接写出闭式解，无需任何配方。

步骤1：构造和的联合高斯分布

因为​是高斯的，​是的线性变换加高斯噪声，所以二者必然是联合高斯的。我们先求联合分布的均值和协方差：

• 联合均值：

• 联合协方差矩阵：

步骤 2：直接套用联合高斯条件分布的闭式解

步骤 3：代入参数，直接得到结果

• 后验均值：

其中就是卡尔曼增益。

• 后验协方差：

最终总结：

• 贝叶斯滤波是通用底层框架：它的核心是贝叶斯公式，目标是求解后验分布，适用于所有系统，但通用场景下没有闭式解，只能近似求解或求点估计。
• 卡尔曼滤波是贝叶斯滤波在线性高斯场景下的 “最优闭式实现”：它没有抛弃贝叶斯框架，而是通过线性 + 高斯的假设，让后验分布有了闭式解。
• 两种方法的等价性：用联合高斯求条件分布，本质是贝叶斯公式在高斯场景下的 “数学捷径”—— 它避开了繁琐的指数配方，直接用已经证明的舒尔补结论，得到了和贝叶斯公式硬算完全相同的结果。