1、函数的定义
2、函数极限
2.1、极限的定义
①有核值时的定义
我们自己求的是实数，但是放在极限里面就变成了超实数。
实数的值是等于
的，但是超实数
等于
+很小的数（无穷小量）。
（超实数）与
天生没关系，我们写的这个
（在
的邻域区间）是核值
+很小的数，只有当
趋向于
时，这个很小的数等于0，所以极限等于
。
超实数当
趋向于
时，当左右两个值相等唯一时，函数极限存在。
很小的数（无穷小量）：不管x趋于多少，这个数都为零
②没核值定义，比较趋核速度
，两个趋核速度相同。
比
趋核速度快。
比
趋核速度慢。
2.2、极限的性质
①唯一性
左右极限相等
②局部有界性
如果一个函数的极限存在，值等于A，那么在的周围的一小段区间内，函数值是有上下界的。
③局部保号性（重点）
（1）如果一个函数的极限为正数（或负数），那么在的周围的一小段区间内，超实数
（
）
（2）如果在的某个去心领域内
，且
，则
3、无穷小量、无穷小
3.1、无穷小的定义
如果当时，函数
的极限为0，那么称函数
为当
时的无穷小
在2.1中定义的无穷小量是（任何数）时的无穷小。
3.2、无穷小的性质
①有限个无穷小的和是无穷小，无穷个无穷小的和可能不是无穷小了。
②有界函数与无穷小的乘积是无穷小。（重点）
3.3、无穷小的比阶
分为高阶、低阶、同阶（就是为常数）、等价（比值为1）
3.4、常用的等价无穷小
4、计算
4.1、极限四则运算规则
当与
极限都存在时，函数的加减乘除的极限分别等于极限的加减乘除。
若，
，那么
①
②
③
4.2、洛必达法则
使用的两个条件： ①②
法则一：
当，函数
及
都趋于零；
及
在a的某去心领域内存在，且
；
存在或为无穷大，则
法则二：
当，函数
及
都趋于无穷大；
及
在a的某去心领域内存在，且
；
存在或为无穷大，则
4.3、泰勒公式
设在点
处
阶可导，则存在
的一个领域，对于改领域内的任一点
，有
常用函数的泰勒展开式：
上下同阶原则：
具体来说，如果分母是x的k次幂，则应该把分子展开到x的k次幂，可称为上下同阶原则。
幂次最低原则：
4.4、两个重要极限
4.5、夹逼准则
如果函数，
及
满足下列条件：
(1)
(2)
则存在，且
4.6、七种未定式的计算
考研的函数极限计算题一般归纳为七种未定式：
5、函数的连续有间断
5.1、连续点的定义
设函数在点
的某一领域内有定义，且有
或，则称函数
在点
处连续。
或这样定义：
5.2、间断点的定义与分类
第一类间断点：
①可去间断点
②跳远间断点
第二类间断点：
③无穷间断点
其中一个的极限为无穷大
④震荡间断点
若震荡不存在，则
称为震荡间断点
6、额外的知识总结
①
