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1. 全排列
2. 旅行售货员问题
3. N 皇后
1. 全排列
全排列力扣链接
题目描述：给定一个不含重复数字的数组nums，返回其所有可能的全排列。你可以按任意顺序返回答案。
示例 1：
输入：nums = [1,2,3]输出：[[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]]
示例 2：
输入：nums = [0,1]输出：[[0,1],[1,0]]
示例 3：
输入：nums = [1]输出：[[1]]
提示：
1 <= nums.length <= 6-10 <= nums[i] <= 10nums中的所有整数互不相同
解决方案如下：
（1）首先画出决策树！
① 开始挖了3个空（如：？？？），分别对这3个问号填入数字，可以是各个位置可以是1、2或者3。
② 如果第一个位置选1，那么第二个位置就不能选1了，只能选2和3。第一个位置选2或者3也是同理。
③ 总结：每个位置都是独一无二的，在之前不能出现过的。
（2）设计代码
① 设计三个全局变量。
int[][] ret ：一个二维数组，用来存储找到的所有排列结果。
int[] path ：这个变量用来存储已经选择的结果，例如一个排列结果是1,2,3，那么 path 数组就存储1,2,3。
boolean[] check ：这个变量用来实现“剪枝”操作。将已经归入 path 数组的元素，设置为true，标记为已经使用过，不能再次选择。
② dfs函数（回溯算法的核心）
注意：仅需关系某一个结点在干什么事情。例如在第一次选择可以选择三个元素，第二次只能选择两个元素，第三次只能选择一个元素，这就是每一步需要干的事情。
③ 细节问题
回溯：有两点，第一点干掉 path 最后一个元素；第二点修改check数组。
剪枝
递归出口：遇到叶子结点的时候，直接添加结果。
class Solution { //定义全局变量 ret 用来收集结果 List<List<Integer>> ret;//用集合来表示二维数组 List<Integer> path;//用来保存每一次结果 boolean[] check;//用来表示某个元素是不是已经被选取过 public List<List<Integer>> permute(int[] nums){ //1.初始化 ret = new ArrayList<>(); path = new ArrayList<>(); check = new boolean[nums.length]; //2.调用dfs(回溯的核心) dfs(nums); return ret; } public void dfs(int[] nums){ //1.当path的长度和nums的长度一样，那么就是将nums的所有元素已经排列在path里 if(nums.length == path.size()){ ret.add(new ArrayList<>(path)); return; } //每一次都有3个选择，只是符不符合的问题 for(int i = 0;i < nums.length;i++){ //正面这个元素还没选取 if(check[i] == false){ path.add(nums[i]);//将这个元素添加到数组中 /* check还能这么理解：如果一个check的元素为true，也就是来到树的第一层（看上图，有层数注解） 有两个check的元素为true，也就是来到树的第二层 有三个check的元素为true，也就是来到树的第三层 */ check[i] = true;//将当前位置的元素标记为true，表示已经被选取过了 dfs(nums); check[i] = false;//将当前位置改为还未选择，具体解析看上图 path.remove(path.size() - 1);//移除最后一个元素 } } } }2. 旅行售货员问题
题目描述：如下图，一个售货员从0号城市出发，要到1号、2号、3号这几个城市去推销商品，已知各城市之间的路程，问应该如何选定一条从0号城市出发，经过每个城市一遍，最后回到0号城市的路线，使得总的周游路程最小？如下图所示：
汉密尔顿回路
说白了这就是一个求最短汉密尔顿回路的问题。我们先来了解一下汉密尔顿路径，汉密尔顿回路还有汉密尔顿图
- 汉密尔顿路径：
G= (V,E)是一个图，若G中一条路径通过且仅通过每一个顶点一次，称这条路径为哈密顿路径。- 汉密尔顿回路：
若G中一个回路通过且仅通过每一个顶点一次，称这个环为哈密顿回路。- 汉密尔顿图：
若一个图存在哈密顿回路，就称为哈密顿图。
解决方案如下：
（1）首先画出决策树！
（2）代码设计
① 设计五个全局变量
int[][] ret：用来保存结果。
boolean[] check：用来检查哪个城市已经走过了。
int[] path：用来记录当前的路径。
int[] minPath：用来保存最短路径的数组
int minValue：用来记录最小的总路程
② 有如下几个方法：
public void initGraph()：对图进行初始化。
public boolean legal()：对路径进行初始判断，是否合法，也就是两个城市zhij。
import java.util.ArrayList; import java.util.List; public class Test14 { //定义全局变量 ret 用来收集结果 int N = 4; int[] nums = {0, 1, 2, 3}; List<List<Integer>> ret;//用集合来表示二维数组 List<Integer> path;//用来保存每一次结果 boolean[] check;//用来表示某个元素是不是已经被选取过 List<Integer> minPath;//用来保存最短的路径进过的城市 int minValue = Integer.MAX_VALUE;//用来保存最短路程 int[][] graph = new int[N][N];//用来存储图的路径 //为图初始化 public void addEdge(int v1, int v2, int weight) { graph[v1][v2] = graph[v2][v1] = weight; } public void initGraph() { addEdge(0, 1, 30); addEdge(0, 2, 6); addEdge(0, 3, 4); addEdge(1, 3, 21); addEdge(2, 3, 11); } public List<List<Integer>> permute(int[] nums) { //1.初始化 ret = new ArrayList<>(); path = new ArrayList<>(); path.add(0); check = new boolean[nums.length]; minPath = new ArrayList<>(); //2.调用dfs(回溯的核心) dfs(0, nums); return ret; } //判断路径是否合法 public boolean legal(int index, int n) { int v1 = path.get(n);//得到当前城市的前一个城市的数组下标 int v2 = index;//当前城市的数组下标 return graph[v1][v2] != 0 && check[index] == false; } //判断最后一个城市到达0号城市是否有路径 public boolean legalLast() { int v1 = path.get(0); int v2 = path.get(path.size() - 1); return graph[v1][v2] != 0; } public void dfs(int n, int[] nums) { //证明到达了0号城市之前的最后一个城市 if (n == nums.length - 1) { //判断最后一个城市到达0号城市是否有路径 if (legalLast()) { List<Integer> tmp = new ArrayList<>(); for (int i = 0; i < path.size(); i++) { tmp.add(path.get(i)); } path.add(0); tmp.add(path.get(path.size() - 1)); ret.add(new ArrayList<>(tmp)); int tmpRoad = 0; // tmpRoad 计算本次路程的总和，然后和minValue进行比较 for (int i = 1; i < path.size(); i++) { int v1 = path.get(i - 1); int v2 = path.get(i); tmpRoad += graph[v1][v2]; } //保留上次的最短路径 int minTmp = minValue; minValue = Math.min(minValue, tmpRoad); //如果最短路程和有改变，就将最短路程保留到minPath中 if (minValue != minTmp) { for (int i = 0; i < path.size(); i++) { minPath.add(path.get(i)); } } } }else{ //开始匹配 //从1号城市开始 for (int i = 1; i < nums.length; i++) { if (legal(i, n)) { check[i] = true; path.add(i); dfs(n + 1, nums); //恢复现场 check[i] = false; path.remove(n); } } } } public static void main(String[] args) { Test14 test14 = new Test14(); test14.initGraph(); test14.permute(test14.nums); System.out.println(test14.minValue); for (int i = 0; i < test14.minPath.size(); i++) { System.out.print(test14.minPath.get(i) + " "); } } }3. N 皇后（基于子集树实现）
N 皇后力扣链接
题目描述：按照国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。
n 皇后问题研究的是如何将n个皇后放置在n×n的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。
给你一个整数n，返回所有不同的n皇后问题的解决方案。
每一种解法包含一个不同的n 皇后问题的棋子放置方案，该方案中'Q'和'.'分别代表了皇后和空位。
解决方案如下：
（1）算法思路
⾸先，我们在棋盘第⼀⾏放置第⼀个皇后，然后遍历棋盘的第⼆⾏，在可⾏的位置放置第⼆个皇后，然后再遍历第三⾏，在可⾏的位置放置第三个皇后，以此类推，直到放置了 n 个皇后为⽌。
我们需要⽤⼀个数组来记录每⼀⾏放置的皇后的列数。在每⼀⾏中，我们尝试放置⼀个皇后，并检查是否会和前⾯已经放置的皇后冲突。如果没有冲突，我们就继续递归地放置下⼀⾏的皇后，直到所有的皇后都放置完毕，然后把这个⽅案记录下来。
在检查皇后是否冲突时，我们可以⽤⼀个数组来记录每⼀列是否已经放置了皇后，并检查当前要放置的皇后是否会和已经放置的皇后冲突。对于对⻆线，我们可以⽤两个数组来记录从左上⻆到右下⻆的每⼀条对⻆线上是否已经放置了皇后，以及从右上⻆到左下⻆的每⼀条对⻆线上是否已经放置了皇后。
对于对⻆线是否冲突的判断可以通过以下流程解决：
1. 从左上到右下：相同对⻆线的⾏列之差相同。
2. 从右上到左下：相同对⻆线的⾏列之和相同。
因此，我们需要创建⽤于存储解决⽅案的⼆维字符串数组ret，⽤于存储每个皇后的位置的
⼀维整数数组? queens ，以及⽤于记录每⼀列和对⻆线上是否已经有皇后的布尔型数组columns 、diagonals1 和 diagonals2 。
（2） 递归函数流程如下：
① 结束条件：如果 row 等于 n ，则表⽰已经找到⼀组解决⽅案，此时将每个皇后的位置存储到字符串数组 path 中，并将 path 存储到 ret 数组中，然后返回；
② 枚举当前⾏的每⼀列，判断该列、两个对⻆线上是否已经有皇后：
a. 如果有皇后，则继续枚举下⼀列；
b. 否则，在该位置放置皇后，并将 columns 、diagonals1 和 diagonals2 对应的位置
设为 true ，表⽰该列和对⻆线上已经有皇后：递归调⽤ dfs 函数，搜索下⼀⾏的皇后位置。如果该⽅案递归结束，则在回溯时需要将 columns 、 diagonals1 和 diagonals2 对应的位置设为 false ，然后继续枚举下⼀列。
class Solution { //1.定义全局变量 /* column：用来判断列的 diagonals1：用来判断正对角线 diagonals2：用来判断反对角线 */ boolean[] columns, diagonals1, diagonals2; //结果收集的二维数组 List<List<String>> ret; //收集"本次"皇后位置的数组，因为棋盘是二维的，所以path是二维数组 char[][] path; //表示棋盘的行或者列 int n; //如果要得到八皇后的结果，只需要调用这个方法时，传入8即可 public List<List<String>> solveNQueens(int _n) { //2.初始化 n = _n; columns = new boolean[n]; diagonals1 = new boolean[2 * n]; diagonals2 = new boolean[2 * n]; ret = new ArrayList<>(); path = new char[n][n]; //把path的所有位置先该为. for (int i = 0; i < n; i++) { Arrays.fill(path[i], '.'); } //开始回溯算法的核心部分 dfs(0);//从第一行开始 return ret; } public void dfs(int row) { //如果到了棋盘的最后一行了，证明本次皇后们的位置是合法的 if (row == n) { //添加结果 List<String> tmp = new ArrayList<>(); for (int i = 0; i < n; i++) { tmp.add(new String(path[i])); } ret.add(new ArrayList<>(tmp)); } //开始匹配 for (int col = 0; col < n; col++) { //判断能不能放 if (columns[col] == false && diagonals1[col - row + n] == false && diagonals2[col + row] == false) { path[row][col] = 'Q'; columns[col] = diagonals1[col - row + n] = diagonals2[col + row] = true; //寻找下一行 dfs(row + 1); //恢复现场 path[row][col] = '.'; columns[col] = diagonals1[col - row + n] = diagonals2[col + row] = false; } } } }
