[简化版 GAMES 101] 计算机图形学 07：图形学投影完全推导

Bilibili 同步视频

[简化版 GAMES 101] 计算机图形学 07：图形学投影完全推导

在计算机图形学中，投影变换是连接 3D 世界与 2D 屏幕的唯一桥梁✨。正交投影（Orthographic）与透视投影（Perspective）是所有渲染、相机、视图系统的底层根基。本文严格依照经典图形学推导，完整复现矩阵由来，不跳步、不省略，带你一次吃透两种投影的数学本质。

0. 前置约定 📌

• 相机位于原点 (0,0,0)

• 看向-Z 方向

• 向上为+Y 方向

• 使用右手坐标系

• 近平面：n（较大 Z），远平面：f（较小 Z）
  ➡️n > f

一、正交投影 Orthographic Projection

1.1 直观理解

正交投影 = 相机在无限远处
平行光线射入 →无近大远小→ 平行线永远平行
适合：工程制图、CAD、蓝图

核心：把一个任意长方体映射到标准立方体 NDC。

1.2 变换两步走

1. 平移：把长方体中心移到原点

2. 缩放：把长宽高缩到 [-1,1]

平移矩阵

c x = f r a c l + r 2 , c y = f r a c b + t 2 , c z = f r a c n + f 2 c_x = frac{l+r}{2}, c_y = frac{b+t}{2}, c_z = frac{n+f}{2}cx​=fracl+r2,cy​=fracb+t2,cz​=fracn+f2
KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 21: …egin{bmatrix}1 &̲ 0 & 0 & -c_x …

缩放矩阵

KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 32: …x}frac{2}{r-l} &̲ 0 & 0 & 0 0 &…

正交投影矩阵（最终）

KaTeX parse error: Expected '}', got '&' at position 46: …x}frac{2}{r-l} &̲ 0 & 0 & -frac{…

二、透视投影 Perspective Projection

2.1 核心思路

透视投影观测空间是视锥体 Frustum，直接求矩阵很难 →拆成两步

1. 把 Frustum 挤成长方体（Perspective → Ortho）

2. 做正交投影

2.2 挤压规则

1. 近平面任意点完全不变

2. 远平面 Z 不变，仅 XY 收缩

3. 中心点不变

2.3 相似三角形推导 XY 变换

x ′ = x c d o t f r a c n z , y ′ = y c d o t f r a c n z x' = x cdot frac{n}{z}, y' = y cdot frac{n}{z}x′=xcdotfracnz,y′=ycdotfracnz
齐次坐标同乘 z：
( x , y , z , 1 ) t o ( n x , n y , ? , z ) (x,y,z,1) to (nx, ny, ?, z)(x,y,z,1)to(nx,ny,?,z)
得到矩阵雏形：
KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 27: …egin{bmatrix}n &̲ 0 & 0 & 0 0 &…

✍️ 补充：第三行为什么是 [0,0,A,B]

第三行计算输出深度z'，z' 只和原深度 z 相关，与 x、y 无关，因此前两位必须为 0，只保留 z 与常数项的系数 A、B。

2.4 解方程求 A、B

近平面条件：
A n + B = n 2 A n + B = n^2An+B=n2
远平面中心点条件：
A f + B = f 2 A f + B = f^2Af+B=f2
联立解得：
b o x e d A = n + f , q u a d b o x e d B = − n f boxed{A = n+f},quad boxed{B = -n f}boxedA=n+f,quadboxedB=−nf

2.5 透视→正交矩阵

KaTeX parse error: Expected '}', got '&' at position 33: …egin{bmatrix}n &̲ 0 & 0 & 0 0 &…

2.6 完整透视投影矩阵

b o x e d M p e r s p = M o r t h o c d o t M p 2 o boxed{M_{persp} = M_{ortho} cdot M_{p2o}}boxedMpersp​=Mortho​cdotMp2o​

三、关键结论 💡

1. 正交：无近大远小，仅平移 + 缩放

2. 透视：有近大远小，先挤压再正交

3. 右手系下：n > f

4. 挤压矩阵第三行前两位为 0，因深度与 x、y 无关

四、经典思考题 🤔

视锥体中间点 z=(n+f)/2，挤压后会被推向远平面，这是深度精度与 Z‑fighting 的核心原因。