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0、背景
原文来自公众号“拓扑漫游杠精”，原文链接在这里，欢迎关注点赞。
之前学习代数拓扑，了解到这里面最主要的就是（持续）同调计算。下面给出同调群计算的主要流程。
1、原文
代数拓扑的核心是将拓扑问题转化为代数问题计算，最典型的标准计算流程以单纯同调为例，以下为单纯同调标准计算流程：
一、空间剖分，构建单纯复形
将目标拓扑空间切割为不同维度的单纯形（0维是点、1维是线段、2维是三角形……n维单纯形由n+1个顶点构成凸包），再按共享边界规则粘合得到单纯复形K，并记录所有不同维度的单纯形。
二、生成各维度链群
对任意维度n nn，以该维度下所有单纯形为基，生成自由交换群C n ( K ) C_n(K)Cn(K)，称为n nn维链群，群中元素为n nn维链，本质是单纯形的整系数线性组合。
三、定义边界算子
对每个n维单纯形，定义边界映射∂ n : C n ( K ) → C n − 1 ( K ) ∂n:C_n(K)→C_{n−1}(K)∂n:Cn(K)→Cn−1(K)：将n维单纯形映射为其所有n − 1 n−1n−1维边界单纯形的交错和，符号由顶点排列顺序决定方向。该算子天然满足∂ n ∘ ∂ ( n + 1 ) = 0 ∂n∘∂(n+1)=0∂n∘∂(n+1)=0，即“边界的边界为空”。
四、定义闭链群与边缘链群
1、闭链群：是边界算子的核Z n ( K ) = k e r ∂ n = c ∈ C n ( K ) ∣ ∂ n ( c ) = 0 Z_n(K)=ker \partial n={c∈C_n(K)∣ \partial n(c)=0}Zn(K)=ker∂n=c∈Cn(K)∣∂n(c)=0，即边界为0 00的n nn维链，每个非平凡闭链对应一个真实存在的n nn维“洞”。
2、边缘链群：是边界算子的像B n ( K ) = i m ∂ ( n + 1 ) = ∂ ( n + 1 ) ( c ) ∣ c ∈ C n + 1 ( K ) B_n(K)=im ∂(n+1)={∂(n+1)(c)∣c∈C_{n+1}(K)}Bn(K)=im∂(n+1)=∂(n+1)(c)∣c∈Cn+1(K)，本质对应已经被填满的“洞”，不代表真实拓扑洞。
3、由∂n∘∂n+1=0可推得B n ( K ) ⊆ Z n ( K ) B_n(K)⊆Z_n(K)Bn(K)⊆Zn(K)，因此可以构造商群得到同调群。
五、计算同调群并解读拓扑信息
n nn维同调群定义为商群H n ( K ) = Z n ( K ) / B n ( K ) H_n(K)=Z_n(K)/B_n(K)Hn(K)=Zn(K)/Bn(K)。其中同调群的秩就是n nn阶贝蒂数，对应n nn维独立“洞”的数量，挠部分对应带方向的特殊拓扑结构。
六、推导最终拓扑结论
基于同调群可得到明确拓扑性质，例如：
1、欧拉特征数满足χ = ∑ i = 0 n ( − 1 ) i d i m H i = ∑ i = 0 n ( − i ) v i χ=∑i=0n(−1)idimHi=∑i=0n(−i)viχ=∑i=0n(−1)idimHi=∑i=0n(−i)vi（vi为i维单纯形个数），可以用来验证两个空间是否同胚；
2、闭流形的最高维同调群如果同构于整数群，则流形可定向，否则不可定向。
