在流形学习和降维算法中，局部保持投影（Locality Preserving Projections, LPP）因其能有效保留数据局部几何结构而广受欢迎。然而，传统LPP求得的投影向量之间并不正交，这可能导致低维表示的重构性能较差，并在某些任务中丢失部分判别信息。
**正交局部保持投影（Orthogonal Locality Preserving Projections, OLPP）**正是针对这一问题提出的改进算法。它在保持LPP局部保持特性的同时，强制投影向量相互正交，从而获得更紧致的基向量集合，提升了表示能力和数值稳定性，尤其在人脸识别、文档检索等高维数据任务中表现出色。
OLPP的核心思想
OLPP可以看作是正交线性图嵌入（OLGE）的一个特例。在LPP中，我们通常构建一个相似图矩阵W（邻接矩阵），并定义对角度矩阵D为W的行和（或列和），拉普拉斯矩阵L = D - W。
LPP的目标是最小化局部散度，等价于最大化：
[
a^T X^T W X a / a^T X^T D X a
]
而OLPP在求解该广义特征值问题的同时，添加了正交约束：新求出的投影向量必须与已有的向量正交。这通过迭代的正交化过程实现，避免了直接求解带正交约束的复杂优化。
与OLGE的关系
OLPP本质上就是调用了更通用的OLGE函数，只不过固定了约束矩阵D为相似矩阵W的对角度矩阵（即标准的LPP设置）。这使得代码实现非常简洁高效，同时继承了OLGE中对奇异性问题的鲁棒处理（如PCA预处理或正则化）。
