COMSOL——底层逻辑弱形式

COMSOL的底层逻辑，如何去求解物理场的。通常一个微分方程是根据一个场φ的方程，这里的φ可以是温度场、电场等等。方程包含场φ本身、一阶导数项、二阶导数项等等，进行一个组合运算最后为0。对于每一个点，都要保证这个等式是成立的。

弱形式的核心思想就是把微分方程转变为积分方程，因为对于求导数项而言，过程比较复杂，但是如果积分来说，对于计算机本质上就是求和，所以比较简单。最简单的思路就是在几何区域Ω中对微分方程的两端进行积分：

但是直接积分就太弱了，之前的微分形式是每个场点都满足微分方程，直接积分后场的构型只能保证平均值为0，不能保证每个场点为0。

思路1拆分区间法：把大的区域拆分成不同的小区域，标记为Ω1,Ω2,…Ωn，满足积分方程成立，就有n个积分方程。当拆分的区域无穷小，拆分数量无穷多时，就无限趋近于在每个场点满足微分方程的成立了。思路上原则上可行，但是计算机内存不足了。

思路2试函数法：在积分时不是对于整个区域积分，而是将它乘上一个试函数再积分，这个试函数高度局限于x0这个点，因此积分出来的值在x0附近最大，最极端的情况试函数就是在x0的一个δ函数。但是计算机并不能严格写一个δ函数，也不需要如此严格。可以用一个比较局域的函数就可以很好刻画在这个场点附近的行为。一个试函数可以满足一个场点为0，计算机不断调整试函数，试函数足够多时，就可以满足在整个区域场点满足微分方程的形式。

下面以一些物理场为例，以静电模块为例，AC/DC模块下的静电模块。求解的场是电势V，静电模块下有几个默认节点，电荷守恒、零电荷、初始值。电荷守恒实际上是在求解关于电势V的泊松方程，如果没有电荷密度，就是在求解拉普拉斯方程。零电荷的边界条件：即电位移矢量在法向为0。但是这个展示的是方程形式，而不是求解的底层方程。

这里为了看到它底层的方程，我们需要点击显示更多选项，勾选方程视图，可以看见底层方程，节点下出现方程视图的子节点，点击需要的研究，往下翻就可以看到弱表达式，即真正求解的弱形式。下面我们看看如何从微分方程转换到弱形式。

结果