中学应有的几何起码常识让2500年都无人能识的“更无理”数一下子浮出水面推翻“R完备、封闭”论
黄小宁
初等数学应有几何起码常识：任何图T（元点不少于两个）的刚体运动都不可使T变为其部分图形。此常识让2500年都无人能识的“更无理”数一下子浮出水面推翻“R轴即x轴各点x与各标准实数一一对应定理”。
初数常识：若点集A≌B则A与B是空间位置不同或相同的同一图形。公共汽车A中任一座位到车头处的距离ρ是随着座位的不同而不同的变数，A移动了一段距离变为汽车B≌A，B中任一座位到车头处的距离是ρ′，B≌A的车头位置与A的车头位置互为全等对应位置即两者互为像和原像。∵A与B是空间位置不同的同一汽车∴ρ与ρ′是同一变数。同样，射线A（B）任一元点到A（B）的起点的距离是一变数ρ（ρ′），若A≌B≠A则A与B 是空间位置不同的同一射线从而使ρ′与ρ是同一变数即两者是同一距离函数；当各射线都没“绕其中点旋转180度的变换”时A的起点与B≌A的起点互为全等对应点即两者互为像和原像。
设集A=｛x}表示A是元为x的集，当x是点的坐标时A是点集。其余类推。
射线R+={x≥0}⊂x轴≌其子部射线V={x≥1}⊂R+吗？假设射线R+≌射线V成立则R+与V ={x≥1}是不同空间位置的同一射线从而使R+的起点与V的起点互为全等对应点，上述说明相应的距离ρ=ρ′；然而R+={x≥0}任一元点x≥0到R+的起点x=0的距离ρ= |x|（x≥0），而V={x≥1}任一元点x≥1到V的起点x=1的距离ρ′=|x-1|（x≥1），ρ′与ρ不是同一距离函数（ρ的定义域是R+={x≥0}而ρ′的定义域是V={x≥1}）；故假设不成立即R+不≌V。可证明任何射线a的任何真子集射线都不可≌a即刚体运动不能使射线变为其真子集。
射线R+={x≥0}沿其正向平移距离1变为射线s=｛x+1≥1｝≌R+。按照上面的证明方法可证明≌R+的s不是R+的任何真子集——说明射线s=｛x+1≥1｝≌R+不能被R+包含而必有元x+1=t“更无理”地突出在R+外，t显然是大于R一切元x的“更无理”标准无穷大正数，其倒数是小于R一切正数的更无理标准无穷小正数。人类由发现无理数到发现更无理数竟须历时2500多年！发现的异常艰难性由此可见一斑。
