多维数组的运算
如果掌握了NumPy多维数组的运算，就可以高效地实现神经网络。因此，
本节将介绍NumPy多维数组的运算，然后再进行神经网络的实现。
多维数组
简单地讲，多维数组就是“数字的集合”，数字排成一列的集合、排成
长方形的集合、排成三维状或者（更加一般化的）N维状的集合都称为多维数
组。下面我们就用NumPy来生成多维数组，先从前面介绍过的一维数组开始。
>>>importnumpyasnp>>>A=np.array([1,2,3,4])>>>print(A)[1234]>>>np.ndim(A)1>>>A.shape(4,)>>>A.shape[0]4如上所示，数组的维数可以通过np.dim()函数获得。此外，数组的形状
可以通过实例变量shape获得。在上面的例子中，A是一维数组，由4 个元素
构成。注意，这里的A.shape的结果是个元组（tuple）。这是因为一维数组的
情况下也要返回和多维数组的情况下一致的结果。例如，二维数组时返回的
是元组(4,3)，三维数组时返回的是元组(4,3,2)，因此一维数组时也同样以
元组的形式返回结果。下面我们来生成一个二维数组。
>>>B=np.array([[1,2],[3,4],[5,6]])>>>print(B)[[12][34][56]]>>>np.ndim(B)2>>>B.shape(3,2)这里生成了一个3 × 2 的数组B。3 × 2 的数组表示第一个维度有3 个元素，
第二个维度有2 个元素。另外，第一个维度对应第0 维，第二个维度对应第
1 维（Python的索引从0 开始）。二维数组也称为矩阵（matrix）。如图3-10 所示，
数组的横向排列称为行（row），纵向排列称为列（column）
矩阵乘法
下面，我们来介绍矩阵（二维数组）的乘积。比如2 × 2 的矩阵，其乘积
可以像图3-11 这样进行计算（按图中顺序进行计算是规定好了的）。
如本例所示，矩阵的乘积是通过左边矩阵的行（横向）和右边矩阵的列（纵
向）以对应元素的方式相乘后再求和而得到的。并且，运算的结果保存为新
的多维数组的元素。比如，A的第1 行和B的第1 列的乘积结果是新数组的
第1 行第1 列的元素，A的第2 行和B的第1 列的结果是新数组的第2 行第1
列的元素。另外，在本书的数学标记中，矩阵将用黑斜体表示（比如，矩阵
A），以区别于单个元素的标量（比如，a或b）。这个运算在Python中可以用
如下代码实现。
>>>A=np.array([[1,2],[3,4]])>>>A.shape(2,2)>>>B=np.array([[5,6],[7,8]])>>>B.shape(2,2)>>>np.dot(A,B)array([[19,22],[43,50]])这里，A和B都是2 × 2 的矩阵，它们的乘积可以通过NumPy 的
np.dot()函数计算（乘积也称为点积）。np.dot()接收两个NumPy数组作为参
数，并返回数组的乘积。这里要注意的是，np.dot(A, B) 和np.dot(B, A) 的
值可能不一样。和一般的运算（+或*等）不同，矩阵的乘积运算中，操作数（A、
B）的顺序不同，结果也会不同。
这里介绍的是计算2 × 2 形状的矩阵的乘积的例子，其他形状的矩阵的
乘积也可以用相同的方法来计算。比如，2 × 3的矩阵和3 × 2 的矩阵的乘积
可按如下形式用Python来实现。
>>>A=np.array([[1,2,3],[4,5,6]])>>>A.shape(2,3)>>>B=np.array([[1,2],[3,4],[5,6]])>>>B.shape(3,2)>>>np.dot(A,B)array([[22,28],[49,64]])2 × 3 的矩阵A和3 × 2 的矩阵B的乘积可按以上方式实现。这里需要
注意的是矩阵的形状（shape）。具体地讲，矩阵A的第1 维的元素个数（列数）
必须和矩阵B的第0 维的元素个数（行数）相等。在上面的例子中，矩阵A
的形状是2 × 3，矩阵B的形状是3 × 2，矩阵A的第1 维的元素个数（3）和
矩阵B的第0 维的元素个数（3）相等。如果这两个值不相等，则无法计算矩
阵的乘积。比如，如果用Python计算2 × 3 的矩阵A和2 × 2 的矩阵C的乘
积，则会输出如下错误。
>>> C = np.array([[1,2], [3,4]]) >>> C.shape (2, 2) >>> A.shape (2, 3) >>> np.dot(A, C) Traceback (most recent call last): File "<stdin>", line 1, in <module> ValueError: shapes (2,3) and (2,2) not aligned: 3 (dim 1) != 2 (dim 0)这个错误的意思是，矩阵A的第1 维和矩阵C的第0 维的元素个数不一
致（维度的索引从0 开始）。也就是说，在多维数组的乘积运算中，必须使两
个矩阵中的对应维度的元素个数一致，这一点很重要。我们通过图3-12 再来
确认一下。
图3-12 中，3 × 2 的矩阵A和2 × 4 的矩阵B的乘积运算生成了3 × 4 的
矩阵C。如图所示，矩阵A和矩阵B的对应维度的元素个数必须保持一致。
此外，还有一点很重要，就是运算结果的矩阵C的形状是由矩阵A的行数
和矩阵B的列数构成的。
另外，当A是二维矩阵、B是一维数组时，如图3-13 所示，对应维度
的元素个数要保持一致的原则依然成立。
可按如下方式用Python实现图3-13 的例子。
>>>A=np.array([[1,2],[3,4],[5,6]])>>>A.shape(3,2)>>>B=np.array([7,8])>>>B.shape(2,)>>>np.dot(A,B)array([23,53,83])神经网络的内积
下面我们使用NumPy矩阵来实现神经网络。这里我们以图3-14 中的简
单神经网络为对象。这个神经网络省略了偏置和激活函数，只有权重。
实现该神经网络时，要注意X、W、Y的形状，特别是X和W的对应
维度的元素个数是否一致，这一点很重要。
>>>X=np.array([1,2])>>>X.shape(2,)>>>W=np.array([[1,3,5],[2,4,6]])>>>print(W)[[135][246]]>>>W.shape(2,3)>>>Y=np.dot(X,W)>>>print(Y)[51117]如上所示，使用np.dot（多维数组的点积），可以一次性计算出Y 的结果。
这意味着，即便Y 的元素个数为100或1000，也可以通过一次运算就计算出
结果！如果不使用np.dot，就必须单独计算Y 的每一个元素（或者说必须使
用for语句），非常麻烦。因此，通过矩阵的乘积一次性完成计算的技巧，在
实现的层面上可以说是非常重要的。
