算法题 二叉树的完全性检验

二叉树的完全性检验

问题描述

给定一个二叉树的根节点root，判断该二叉树是否为完全二叉树。

完全二叉树定义：
在完全二叉树中，除了最底层外，其他层都被完全填满，并且所有结点都尽可能地向左集中。最底层的结点可以不满，但必须从左到右连续排列，不能有“空洞”。

示例：

输入: [1,2,3,4,5,6] 输出: true 解释: 所有层都被完全填满，是完全二叉树。 输入: [1,2,3,4,5,null,7] 输出: false 解释: 最底层右边有空洞（6的位置为空，但7存在），不是完全二叉树。

算法思路

层序遍历（BFS）：

1. 使用队列进行层序遍历
2. 遇到第一个null节点后，后续所有节点都必须是null
3. 如果在遇到null后又遇到非null节点，说明存在空洞，不是完全二叉树

代码实现

方法一：层序遍历

importjava.util.*;/** * Definition for a binary tree node. * public class TreeNode { * int val; * TreeNode left; * TreeNode right; * TreeNode() {} * TreeNode(int val) { this.val = val; } * TreeNode(int val, TreeNode left, TreeNode right) { * this.val = val; * this.left = left; * this.right = right; * } * } */classSolution{/** * 判断二叉树是否为完全二叉树 * * @param root 二叉树根节点 * @return 如果是完全二叉树返回true，否则返回false */publicbooleanisCompleteTree(TreeNoderoot){if(root==null){returntrue;}Queue<TreeNode>queue=newLinkedList<>();queue.offer(root);booleanfoundNull=false;// 标记是否遇到了第一个null节点while(!queue.isEmpty()){TreeNodenode=queue.poll();if(node==null){// 遇到null节点，标记为已发现nullfoundNull=true;}else{// 如果之前已经遇到过null，现在又遇到非null节点// 说明存在空洞，不是完全二叉树if(foundNull){returnfalse;}// 将左右子节点加入队列（包括null节点）queue.offer(node.left);queue.offer(node.right);}}returntrue;}}

方法二：节点编号

importjava.util.*;classSolution{/** * 基于节点编号验证完全二叉树 * 完全二叉树按层序遍历编号时，节点编号应该是连续的1,2,3,...,n * * @param root 二叉树根节点 * @return 如果是完全二叉树返回true，否则返回false */publicbooleanisCompleteTree(TreeNoderoot){if(root==null){returntrue;}Queue<TreeNode>queue=newLinkedList<>();Queue<Integer>indices=newLinkedList<>();// 存储对应节点的编号queue.offer(root);indices.offer(1);// 根节点编号为1intcount=0;// 实际节点数量intlastIdx=0;// 最后一个节点的编号while(!queue.isEmpty()){TreeNodenode=queue.poll();intidx=indices.poll();count++;lastIdx=idx;if(node.left!=null){queue.offer(node.left);indices.offer(idx*2);// 左子节点编号为父节点编号*2}if(node.right!=null){queue.offer(node.right);indices.offer(idx*2+1);// 右子节点编号为父节点编号*2+1}}// 如果是完全二叉树，最后一个节点的编号应该等于总节点数returnlastIdx==count;}}

算法分析

• 时间复杂度：O(n)
  • 两种方法都需要遍历所有节点一次
• 空间复杂度：O(w)
  • w 为二叉树的最大宽度，最坏情况下为 O(n)（完全二叉树最后一层）

算法过程

输入[1,2,3,4,5,null,7]：

方法一：

1. 队列初始：[1]，foundNull = false
2. 处理节点1：加入子节点[2,3]，foundNull = false
3. 处理节点2：加入子节点[4,5]，队列变为[3,4,5]
4. 处理节点3：加入子节点[null,7]，队列变为[4,5,null,7]
5. 处理节点4：加入子节点[null,null]，队列变为[5,null,7,null,null]
6. 处理节点5：加入子节点[null,null]，队列变为[null,7,null,null,null,null]
7. 处理null：foundNull = true
8. 处理节点7：此时foundNull = true且遇到非null节点，返回false

方法二：

1. 节点1：编号1，count=1，lastIdx=1
2. 节点2：编号2，count=2，lastIdx=2
3. 节点3：编号3，count=3，lastIdx=3
4. 节点4：编号4，count=4，lastIdx=4
5. 节点5：编号5，count=5，lastIdx=5
6. 节点7：编号7，count=6，lastIdx=7
7. 验证：lastIdx(7) != count(6)，返回false

测试用例

publicclassTestCompleteBinaryTree{// 构建测试用的二叉树工具方法privatestaticTreeNodebuildTree(Integer[]arr){if(arr==null||arr.length==0||arr[0]==null){returnnull;}TreeNoderoot=newTreeNode(arr[0]);Queue<TreeNode>queue=newLinkedList<>();queue.offer(root);inti=1;while(!queue.isEmpty()&&i<arr.length){TreeNodenode=queue.poll();if(i<arr.length&&arr[i]!=null){node.left=newTreeNode(arr[i]);queue.offer(node.left);}i++;if(i<arr.length&&arr[i]!=null){node.right=newTreeNode(arr[i]);queue.offer(node.right);}i++;}returnroot;}publicstaticvoidmain(String[]args){Solutionsolution=newSolution();// 测试用例1：完全二叉树Integer[]tree1={1,2,3,4,5,6};System.out.println("Test 1: "+solution.isCompleteTree(buildTree(tree1)));// true// 测试用例2：非完全二叉树（有空洞）Integer[]tree2={1,2,3,4,5,null,7};System.out.println("Test 2: "+solution.isCompleteTree(buildTree(tree2)));// false// 测试用例3：单节点Integer[]tree3={1};System.out.println("Test 3: "+solution.isCompleteTree(buildTree(tree3)));// true// 测试用例4：只有左子树Integer[]tree4={1,2,null,4,5};System.out.println("Test 4: "+solution.isCompleteTree(buildTree(tree4)));// false// 测试用例5：满二叉树Integer[]tree5={1,2,3,4,5,6,7};System.out.println("Test 5: "+solution.isCompleteTree(buildTree(tree5)));// true// 测试用例6：空树Integer[]tree6={};System.out.println("Test 6: "+solution.isCompleteTree(buildTree(tree6)));// true// 测试用例7：只有右子树Integer[]tree7={1,null,3,null,7};System.out.println("Test 7: "+solution.isCompleteTree(buildTree(tree7)));// false}}

关键点

1. 完全二叉树：

   • 层序遍历中不能有"空洞"
   • 一旦出现null，后续必须全部为null

2. 层序遍历：

   • 必须按层从左到右遍历
   • 需要将null节点也加入队列进行处理

3. 边界情况处理：

   • 空树被认为是完全二叉树
   • 单节点树是完全二叉树
   • 只有左子树的树可能是完全二叉树，只有右子树的一定不是

常见问题

1. 为什么需要将 null 节点加入队列？

   • 为了检测空洞，必须知道在什么位置出现了 null，以及 null 之后是否还有非 null 节点。

2. 完全二叉树和满二叉树的区别？

   • 满二叉树：所有层都完全填满
   • 完全二叉树：除最后一层外都填满，最后一层从左到右连续