原文：
towardsdatascience.com/intersect-multiple-3d-lines-closest-point-93e06b296f15?source=collection_archive---------11-----------------------#2024-03-27
寻找一批 3D 线段的交点，更像是一个最小化问题，而不是一个实际的交点测试，正如通常与两条光线做的那样。
https://medium.com/@thom01.rouch?source=post_page---byline--93e06b296f15--------------------------------https://towardsdatascience.com/?source=post_page---byline--93e06b296f15-------------------------------- Thomas Rouch
·发表于 Towards Data Science ·阅读时间：5 分钟·2024 年 3 月 27 日
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摄影师：Baudouin Wisselmann 来自 Unsplash
1. 引言
动机
了解多个 3D 线段相交的位置在 3D 重建或增强现实等领域非常有用。例如，它帮助我们通过多视角的 2D 图像检测来三角化一个 3D 点，或者找到相机围绕物体旋转时的主要 3D 关注点。
尽管每一行可能包含一些噪音，但拥有更多的行有助于减少变异性，就像我们计算多个样本的平均值一样。
两条光线 VS 多条光线
在之前的一篇文章中，相交 3D 光线（最近点），我解释了如何使一对 3D 光线相交。但是，如果我们想让n条光线相交呢？正如我们在本文中所看到的，从两条光线到n条光线不仅仅是一个推广，它在本质上是不同的。
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两条光线相交 VS 多条光线相交 — 图由作者提供
提出一个问题本身就意味着这个问题值得被问。因此，寻找一组 3D 光线的交点，本质上暗示着这样一个共同的汇聚点的存在，即使有一些噪音。
快速提醒：从数学角度看，射线由其原点
*o*和方向*d*定义。由于它是 1 维空间，射线上的任何点都可以通过与原点的正距离（或时间）*t*来进行参数化。
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在两条射线的情况下，我们求解每条射线在最接近的点处的参数化t1和t2，然后从中判断射线是否相交，即t1>0且t2>0。由于最优的t1和t2可以独立计算，这种方法也允许提前停止，例如如果t1<0，则跳过t2的计算。
在n条射线的情况下，我们可以假设射线相交，并直接求解 3D 交点，而不是求解每条射线上的n个最优参数化。因此，这更像是一个最小化问题，而不是一个实际的交点测试。
射线还是直线？
由于我们没有检查每条射线上的参数化，更准确地说，应该讨论直线而非射线；因此，文章的标题为直线。直线就是没有t约束的射线。
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图片由Ben Wicks提供，来自Unsplash
2. 解析解
有用的向量技巧
在深入讨论主题之前，我想快速讨论一个对我们之后非常有用的向量技巧。
通过点积来缩放向量也可以看作是矩阵-向量乘积。由于乘积运算符的结合性，项确实可以重新排列。
这将帮助我们通过突出变量c的线性关系来因式分解方程。
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最小化问题
交点可以定义为 3D 点x，它最小化与每条输入射线的平方距离之和。
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点到直线的正交投影
从射线原点o到点x的向量可以表示为两个正交向量的和。如下面的图所示，第一个向量沿着直线从o到p，而第二个向量从p到x。
一旦我们知道这个点p的坐标，即x的投影，我们就可以通过计算向量x-p的范数来推导出点x到直线的距离。
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点-直线距离 — 作者插图
让我们计算p。
如下面的方程组所示，点p由两个关键属性定义：它属于直线（具有未知射线参数tp），并且x-p与直线正交。
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将射线参数化引入第二个方程中，可以得到tp的值，它是x-o和d的点积。
注意：我们假设射线方向
d已经被归一化。
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我们现在可以将其代回射线参数化，来恢复点p。
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前面提到的向量技巧在这里很有用，可以强调关于x-o的线性关系，这将有助于因式分解。
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点-线距离
如前所述，点-线距离现在可以通过计算x-p的范数来得到。注意到x-o中的优美因式分解。
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损失函数
点-线距离公式为我们提供了我们想要最小化的损失函数L。
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x-o中的因式分解使得我们可以很容易地推导出它相对于x的梯度。
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现在可以通过确定梯度为零的点来获得这个凸损失函数的最小值。
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最终我们得到一个线性3x3方程组Ax=b，其中矩阵A和向量b的定义如下：
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因此，最接近所有射线的 3D 点可以通过求逆A来获得。
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结论
最小二乘法最小化通常可以简化为一个普通的正态方程，其中伪逆矩阵用于将n个观测值聚合成一个方阵可逆矩阵。
值得一提的是，我们在这里并不需要伪逆，因为矩阵的平方形状自然地来源于射线方向外积的和。
希望你喜欢阅读这篇文章，并且它能为你提供更多关于如何求交多条 3D 射线的见解！
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