代数几何码与Gilbert - Varshamov界相关研究
1. 代数几何码基础理论推导
当(\text{deg}(D - P_1 - \cdots - P_n) < 0)时，依据定理可知(L(D - P_1 - \cdots - P_n) = {0})，这表明(f = 0)，进而说明(\text{ev}_P)的核是平凡的。由此可以得出(k = \text{deg}(D) + 1 - g)，同时定理中给出的矩阵是(C(X, P, D))的生成矩阵。
假设(\text{ev}P(f))具有最小非零重量(d)，那么对于某组(n - d)个不同的指标({i_j | 1 \leq j \leq n - d})，有(f(P{i_j}) = 0)。所以(f \in L(D - P_{i_1} - \cdots - P_{i_{n - d}}))，因为(f \neq 0)，根据定理可知(\text{deg}(D - P_{i_1} - \cdots - P_{i_{n - d}}) \geq 0)，即(\text{deg}(D) - (n - d) \geq 0)，也就是(d \geq n - \text{deg}(D))。
2. 狭义和扩展狭义Reed - Solomon码作为代数几何码的证明
考虑由(z = 0)给出的(\mathbb{F}q)上的射影平面曲线(X)，曲线上的点为((x : y : 0))，本质上构成射影直线。设(P{\infty} = (1 : 0 : 0))，直线上有(q)个(\mathbb{F}q) - 有理点。令(P_0)是由((0 : 1 : 0))表示的(\mathbb{F}_q
