时变系统框架：综合与分析
1. 多维系统的平衡截断模型降阶
在多维系统中，对平衡稳定的 NMD 系统实现进行截断，会得到一个低维的平衡稳定实现。这可以通过考虑系统的 Lyapunov 不等式轻松看出。下面给出多维系统的平衡截断模型降阶误差界定理。
-定理：假设 $(A_r; B_r; C_r; D)$ 是从平衡稳定系统 $(A; B; C; D)$ 得到的降阶模型，那么有：
[
\sup_{|\delta| \leq 1} |G(\delta_1, \cdots, \delta_d) - G_r(\delta_1, \cdots, \delta_d)| \leq 2 \sum_{i = 1}^{d} \sum_{j = k_i + 1}^{t_i} \sigma_{ij}
]
该结果表明，降阶系统能保证满足一个与标准系统类似的误差界。需要注意的是，此结果需要使用 Lyapunov 不等式而非方程，并且与之前的降阶结果不同，它可以直接使用线性矩阵不等式（LMIs）进行计算。
2. 离散时间线性时变系统
我们考虑离散时间的一类基本线性时变系统。通常用状态空间系统来描述这样的系统 $G$：
[
\begin{cases}
x_{k + 1} = A_k x_k + B_k w_k \
z_k = C_k x_k + D_k w_k
\end{cases}
]
其中，$w_k$ 是输入序列，$A_k$、$B_k$、$C_k$ 和 $D_k$ 是先验给定的有界矩阵序列，系统的初始条件为 $x_0 = 0$。这类系统模型在许多应
