UVa 149 Forests-编程阁

题目分析

这道题来源于一个常见的观察现象：在森林中，当你站在某个位置观察时，远处的树木可能会被近处的树木遮挡，导致你无法看清远处的树木。题目中给出了一个数学模型：树木被抽象为直径相同的圆柱体，它们的中心位于一个单位间距的无限矩形网格上。观察者站在某个坐标点( x , y ) (x, y)(x,y)上，用一只眼睛观察。只有当一棵树在观察者眼中所张的视角大于0.01 0.010.01度，并且它的树干没有被更近的树木遮挡时，这棵树才是可见的。

关键点：

树木直径d dd满足0.1 ≤ d ≤ x , y ≤ 1 − d 0.1 \le d \le x, y \le 1-d0.1≤d≤x,y≤1−d。
网格是无限的，但题目通过坐标缩放保证了输入坐标在[ 0 , 1 ] [0,1][0,1]之间。
需要计算从给定观察点可以看到的树木数量。

解题思路

由于网格是无限的，直接枚举所有树木是不可能的。我们需要找到一种有效的方法来判断哪些树是可见的。

1. 几何模型

每棵树是一个直径为d dd的圆柱体。观察者位于O ( x , y ) O(x, y)O(x,y)，树木中心位于网格点T ( i , j ) T(i, j)T(i,j)。要判断T TT是否可见，需要考虑：

视角大小：树木在观察者眼中的张角必须大于0.01 0.010.01度。
遮挡关系：如果存在另一棵树N NN比T TT更接近观察者，并且从O OO到T TT的视线被N NN的树干遮挡，那么T TT不可见。

2. 遮挡判定

对于两棵树N NN（近）和F FF（远），我们需要判断N NN是否遮挡了F FF。这可以通过计算角度来判断：
设：

a = ∣ O N ∣ 2 a = |ON|^2a=∣ON∣2
b = ∣ O F ∣ 2 b = |OF|^2b=∣OF∣2
c = ∣ N F ∣ 2 c = |NF|^2c=∣NF∣2
A = arcsin ⁡ ( d / ( 2 a ) ) A = \arcsin(d / (2\sqrt{a}))A=arcsin(d/(2a))（N NN树干的半张角）
B = arcsin ⁡ ( d / ( 2 b ) ) B = \arcsin(d / (2\sqrt{b}))B=arcsin(d/(2b))（F FF树干的半张角）
cos ⁡ C = ( a + b − c ) / ( 2 a b ) \cos C = (a + b - c) / (2\sqrt{a}\sqrt{b})cosC=(a+b−c)/(2ab)，C = arccos ⁡ ( cos ⁡ C ) C = \arccos(\cos C)C=arccos(cosC)（O OO到两棵树中心的夹角）

如果C − A − B ≤ 0.01 C - A - B \le 0.01C−A−B≤0.01度（转换为弧度比较），则N NN遮挡了F FF。

3. 枚举范围

由于网格无限，但树木大小固定，观察点位置有限，实际上只需要检查一定范围内的树木即可：

将坐标乘以100 100100转换为整数网格，便于计算。
将平面分为四个象限，每个象限内按“深度”（距离观察点的网格层数）逐步向外检查。
对于每一层，检查该层的角点和边上的树木是否可见。
设置最大深度为10 1010，这足以覆盖所有可能可见的树木。

4. 实现细节

使用isObscured函数判断两棵树之间的遮挡关系。
使用isVisible函数判断一棵树是否被当前层内的任何更近的树遮挡。
主函数循环读取输入，对每个测试用例调用visibleTrees计算可见树木数量并输出。

代码实现

// Forests// UVa ID: 149// Verdict: Accepted// Submission Date: 2016-02-01// UVa Run Time: 0.000s//// 版权所有（C）2016，邱秋。metaphysis # yeah dot net#include<bits/stdc++.h>usingnamespacestd;constdoublePI=3.14159265358;structpoint{doublex,y;};doublediameter,x,y;point base[4]={{100,100},{0,100},{0,0},{100,0}};intsteps[4][2]={{100,100},{-100,100},{-100,-100},{100,-100}};intsubSteps[8][2]={{-100,0},{0,-100},{100,0},{0,-100},{100,0},{0,100},{-100,0},{0,100}};doublemaxCos=cos(0.01/180*PI);boolisObscured(point near,point far){doublea=pow(x-near.x,2)+pow(y-near.y,2);doubleb=pow(x-far.x,2)+pow(y-far.y,2);doublec=pow(near.x-far.x,2)+pow(near.y-far.y,2);doubleA=asin(diameter/2/sqrt(a));doubleB=asin(diameter/2/sqrt(b));doublecosC=(a+b-c)/(2*sqrt(a)*sqrt(b));// 因为余弦的值域为[-1, 1]，故绝对值大于 1 的值取反余弦会得到一个非数值（NAN），// 而且题目中提到当角度大于 0.01 度时人眼才能区分，因此需要设定一个阈值。// 此处是关键，否则很可能 Wrong Answer。if(cosC>=maxCos)returntrue;doubleC=acos(cosC);return((C-A-B)*180/PI)<=0.01f;}boolisVisible(point tree,intdepth,intquadrant){for(intsubDepth=0;subDepth<depth;subDepth++){point corner={base[quadrant].x+subDepth*steps[quadrant][0],base[quadrant].y+subDepth*steps[quadrant][1]};if(isObscured(corner,tree))returnfalse;for(intj=2*quadrant;j<2*(quadrant+1);j++)for(intk=0;k<subDepth;k++){point vertex={corner.x+subSteps[j][0]*(k+1),corner.y+subSteps[j][1]*(k+1)};if(isObscured(vertex,tree))returnfalse;}}returntrue;}intvisibleTrees(){intcount=0;for(intdepth=0;depth<=10;depth++)for(inti=0;i<4;i++){point corner={base[i].x+depth*steps[i][0],base[i].y+depth*steps[i][1]};if(isVisible(corner,depth,i))count++;for(intj=2*i;j<2*(i+1);j++)for(intk=0;k<depth;k++){point tree={corner.x+subSteps[j][0]*(k+1),corner.y+subSteps[j][1]*(k+1)};if(isVisible(tree,depth,i))count++;}}returncount;}intmain(){while(cin>>diameter>>x>>y){diameter=(int)(diameter*100);x=(int)(x*100),y=(int)(y*100);if(diameter==0&&x==0&&y==0)break;cout<<visibleTrees()<<endl;}return0;}