符号回归启发的可压缩流场结构智能识别：基于局部对流特征分布的统一理论框架
冯亦葳1,*, 吕丽丽2, 曹奎2, 许亮1,*, 刘铁钢2, 艾邦成1
1中国航天空气动力技术研究院
2北京航空航天大学
引用格式：
FENG Y, LYU L, CAO K, et al. Symbolic regression inspired compressible flow field classification through local characteristic distribution[J]. Chinese Journal of Aeronautics, 2025. https://doi.org/10.1016/j.cja.2025.104060
导语：
在空气动力学中，准确识别激波、涡旋、膨胀波等关键流动结构，对于设计高分辨数值模拟方法、复杂流场的超分辨率重构具有重要应用价值，同时对于探索飞行器升阻力机制、流动分析与控制具有重要意义。然而，工程师们长期面临一些困境：传统识别方法（如基于压力梯度的激波识别、基于Q准则的涡识别）依赖经验阈值，在复杂波系相互作用、弱激波或小尺度涡旋情形下有时可能失效，且难以在统一框架下对多类结构进行一次性区分。近年来，以深度学习为代表的数据驱动方法在流场结构识别方面展现出潜力，但其可解释性与泛化能力的不足，限制了其在工程分析中的应用。本工作从流体控制方程的角度出发，借助方程的特征线理论，采用符号回归的数据驱动方法，建立了一套基于局部对流特征分布的统一流场结构分类框架。该框架能同时、鲁棒地识别复杂流动中的各类典型流动结构，为理解流动结构的产生与演化机制提供了新的思路。
关键词：符号回归，特征线理论，流场分类，激波与涡识别，空气动力学
一、研究背景
对可压缩流场中典型结构（如激波、涡旋等）的准确识别，对于航空航天器气动设计、性能分析与流动控制具有重要意义。目前主要分为两类：
1.基于物理量的经验方法：如通过物理量梯度识别激波，通过涡量
或
-准则识别涡旋。这些方法虽直观，但其有效性经常依赖于阈值的选取，在弱激波、强膨胀波或复杂剪切流中可能存在误判或漏判。
2.数据驱动的深度学习方法：利用卷积神经网络（CNN）或U-Net等直接从流场数据中学习识别模式。这类方法能减少人为阈值干预，但其“黑箱”模型的本质，导致其泛化能力存疑，难以提供物理见解，无法满足对机理有深入要求的工程研究。
由于流体的运动遵循流体控制方程，从控制方程的角度定义和识别流动结构可能具有潜在优势。而守恒律方程组的特征线（特征）理论表明，解的信息沿特征线传播，特征线斜率（对流特征值）的空间分布是预测守恒律解随时间演化的有力工具，比如决定了激波（特征线汇聚）、膨胀波（特征线发散）等结构的形成。前期的研究偶然发现，涡旋边界也似乎对应着某族特征线在某一方向上的压缩。这启发了一个核心猜想：或许所有典型的流动结构，局部都对应着对流特征值分布的不同数学模式。本研究旨在通过可解释的数据驱动方法验证这一猜想，并构建一个可靠的理论框架。
二、技术路线：符号回归启发，理论分析定性
研究先采用符号回归探索二维涡旋的识别准则，然后通过分析模型工作机制，建立理论框架并推广到三维的一般情形：
1.符号回归挖掘线索：为了避免深度学习的黑箱问题，研究采用符号回归来搜索简洁的涡旋识别数学表达式。作者构建了包含不同尺度、不同耗散程度的二维涡旋数据集，并以表征局部对流特征分布的物理量（对流特征值梯度矩阵）为输入，训练模型识别涡旋。最终，符号回归发现了简洁的涡旋指示子表达式，其表达式揭示了涡旋识别与对流特征值梯度矩阵的数学关联。
2.构建基于特征分布的统一框架：定义沿两个正交方向的特征值
，其梯度构成矩阵：
该矩阵的特征值情况，蕴含了局部特征线演化的全部信息。通过理论分析，作者建立了以下对应关系：
（1）矩阵G有一对共轭复数特征值，物理上特征线在局部坐标系存在旋转，局部对应的物理结构为涡旋。
（2）矩阵G有两个负的实特征值，物理上特征线沿着两个独立的主方向（特征方向）汇聚，局部对应的物理结构为压缩波乃至激波。
（3）矩阵G有两个正的实特征值，物理上特征线沿着两个独立的主方向（特征方向）发散，局部对应的物理结构为膨胀波。
（4）矩阵G有一正一负两实特征值，物理上特征线沿着一个方向压缩，另一个方向发散，局部表现为“吸引-分离”的趋势，物理结构对应“分离”结构（如涡边界）或激波-膨胀波相互作用。
该理论框架在数学上优雅统一。基于上述理论，作者发展并推广了一套可直接应用于捕捉典型流场结构的指示子。对于三维流场，记表示流体控制方程中沿着n方向的对流通量特征值，如可压缩Euler方程组或N-S方程组中
，令
。定义对流特征的梯度矩阵
，其中
。基于此定义四个指示子：
其中，，
，
。四个指示子与物理结构的对应关系为：
（1）矩阵G有一个实数特征值和一对共轭复数特征值局部流场为涡旋结构；
（2）且
矩阵G至少有一个非正占优的实特征值局部流场为压缩波主导的结构。当
，局部存在强激波/接触间断结构的概率增大。
（3）且
矩阵G至少有一个非负占优的实特征值局部流场为膨胀波主导的结构。当
，局部膨胀波的强度也越强。
（4）且
矩阵G有一对异号的实特征值局部流场存在激波/膨胀波相互作用，或者以涡边缘为代表的“分离”结构。当
，局部流场的“分离”现象越明显。
在局部同族对流特征分布的统一框架下，所提出的流场结构指示子可以在复杂流动中同时识别包含涡旋、激波、膨胀波、“分离”结构在内的典型流动结构。
三、结果
作者通过测试了大量从二维到三维、从低速到高速的一系列复杂算例，验证了该框架在区分复杂流动中流动结构的精准性和鲁棒性。
1.强激波-涡相互作用：在激波与涡相互穿透、扭曲的复杂流场中，和
能清晰、互不干扰地分别标识出激波面和涡结构，且对相互作用产生的数值噪声不敏感，优于传统的 -准则（在振荡流场中存在噪声）。
2.跨声速翼型绕流：在NACA-0012翼型的跨声速流动中，可以同时捕捉到吸力侧的强激波和压力侧的极弱激波，而传统的密度梯度指标
则难以有效识别后者。
3.三维高超声速激波-湍流边界层干扰：在包含激波/湍流边界层相互作用的复杂三维流场中，指示子与
成功分离并可视化了的各种形态的涡结构和激波面，证明了其在直接数值模拟湍流中的适用性。
4.三维双后掠乘波体宽速域飞行：在亚声速状态下，清晰揭示了从高后掠边条翼拉出、在低后掠翼面上增强的涡系，阐明了低速飞行的涡升力机制；在超声速状态下，
精准刻画出乘波体下表面的附着激波面，直观展示了乘波升力效应。采用统一框架诠释了宽速域乘波体飞行器的不同升力机制。
四、总结与展
本工作从守恒律方程控制方程出发，发展了一套基于局部对流特征值分布的流场结构识别方法，具备良好的物理可解释性和工程实用性，有望应用于设计高分辨数值模拟格式和复杂流场超分辨率重构方法，推动智能气动评估与控制技术的发展。
公众号原文链接（文末附论文资源）：
CJA | 中国航天气动院冯亦葳、许亮等：符号回归启发的可压缩流场结构智能识别：基于局部对流特征分布的统一理论框架
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