可微映射的结构稳定性
在数学领域中，可微映射的结构稳定性是一个重要的研究课题。这一概念由Whitney发起，随后Thom也对其进行了深入研究，主要探讨可微映射的奇点类型，以及当映射被任意接近的映射替代时奇点类型的变化情况。下面将详细介绍可微映射结构稳定性的相关定义、定理及证明。
1. 稳定映射的定义
设 (X) 和 (Y) 是两个流形，用 (C(X, Y)) 表示所有从 (X) 到 (Y) 的 (C^{\infty}) 可微映射的集合。在 (C(X, Y)) 上定义 (C^{\infty}) - 精细拓扑，具体步骤如下：
- 设 (k) 是一个有限正整数，(k) - 阶“射流”空间 (J^k(X, Y)) 是以 (X\times Y) 为基空间、代数纤维的纤维丛，它有自然拓扑。
- 对于任意开集 (U\subset J^k(X, Y))，考虑集合 (W(U))，它由所有 (j\in C(X, Y)) 组成，使得 (k) - 射流 (j^k(f): X \to J^k(X, Y)) 将 (X) 映射到 (U) 中。所有可能的 (U) 对应的集合 (W(U)) 生成 (C(X, Y)) 上的一个拓扑，即 (C^k) - 精细拓扑。
- (C^{\infty}) - 精细拓扑定义为当 (k) 趋于无穷时所有 (C^k) - 精细拓扑的极限。
需要注意的是，(C^0) - 精细拓扑的一个基本邻域系是：对于 (f\in C(X, Y)) 的图像（(X\times Y) 的子集）的每个邻域 (U)，将所有图像包含在 (U) 中的映射 (g: X\to Y) 的集合作为 (f) 的邻域。当 (X) 不是紧致的时候，这个拓扑比紧致子集上的一致收敛拓扑还要细，甚至比
