最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，MLE）是一种在统计学中用于估计概率分布参数的方法。其核心思想是：在已知观测数据的概率分布模型的情况下，通过调整模型参数，使得观测到当前数据的概率最大。以下从定义、数学原理和详细范例进行介绍：
定义
设有一组独立同分布的观测数据X = { x 1 , x 2 , ⋯ , x n } X = \{x_1, x_2, \cdots, x_n\}X={x1,x2,⋯,xn}，其概率密度函数（连续情况）或概率质量函数（离散情况）为p ( x ∣ θ ) p(x|\theta)p(x∣θ)，其中θ \thetaθ是待估计的参数。最大似然估计的目标是找到一个参数值θ ^ \hat{\theta}θ^，使得似然函数L ( θ ∣ X ) = ∏ i = 1 n p ( x i ∣ θ ) L(\theta|X)=\prod_{i = 1}^{n}p(x_i|\theta)L(θ∣X)=∏i=1np(xi∣θ)取得最大值。为了方便计算，通常会对似然函数取对数，得到对数似然函数ln L ( θ ∣ X ) = ∑ i = 1 n ln p ( x i ∣ θ ) \ln L(\theta|X)=\sum_{i = 1}^{n}\ln p(x_i|\theta)lnL(θ∣X)=∑i=1nlnp(xi∣θ)，然后求其对θ \thetaθ的导数并令其为0，解方程得到θ ^ \hat{\theta}θ^。
数学原理
- 似然函数：它是在给定参数θ \thetaθ的情况下，观测到数据X XX的联合概率。由于观测数据X XX已经发生，所以将似然函数看作参数θ \thetaθ的函数，其值越大意味着在当前参数下观测到给定数据的可能性越大。
- 对数似然函数：因为乘积的运算不如求和方便，且对数函数是单调递增函数，所以对似然函数取对数后，使函数更容易处理，同时不改变参数的极值点。
范例：抛硬币实验
实验设定
假设有一枚硬币，我们想知道它正面朝上的概率p pp。为了估计这个概率，我们进行抛硬币实验，独立重复抛n nn次，记录正面朝上的次数k kk。
建立概率模型
每次抛硬币是一个伯努利试验，设x i x_ixi表示第i ii次抛硬币的结果，x i = 1 x_i = 1xi=1表示正面朝上，x i = 0 x_i = 0xi=0表示反面朝上。则x i x_ixi服从参数为p pp的伯努利分布，其概率质量函数为p ( x i ∣ p ) = p x i ( 1 − p ) 1 − x i p(x_i|p)=p^{x_i}(1 - p)^{1 - x_i}p(xi∣p)=pxi(1−p)1−xi。
构建似然函数
由于n nn次抛硬币是相互独立的，所以n nn次抛硬币的联合概率（似然函数）为：
L ( p ∣ x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) = ∏ i = 1 n p x i ( 1 − p ) 1 − x i L(p|x_1,x_2,\cdots,x_n)=\prod_{i = 1}^{n}p^{x_i}(1 - p)^{1 - x_i}L(p∣x1,x2,⋯,xn)=∏i=1npxi(1−p)1−xi
构建对数似然函数
对似然函数取对数可得：
ln L ( p ∣ x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) = ∑ i = 1 n [ x i ln p + ( 1 − x i ) ln ( 1 − p ) ] \ln L(p|x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum_{i = 1}^{n}[x_i\ln p+(1 - x_i)\ln(1 - p)]lnL(p∣x1,x2,⋯,xn)=∑i=1n[xilnp+(1−xi)ln(1−p)]
= ( ∑ i = 1 n x i ) ln p + ( n − ∑ i = 1 n x i ) ln ( 1 − p ) =\left(\sum_{i = 1}^{n}x_i\right)\ln p+\left(n-\sum_{i = 1}^{n}x_i\right)\ln(1 - p)=(∑i=1nxi)lnp+(n−∑i=1nxi)ln(1−p)
设k = ∑ i = 1 n x i k = \sum_{i = 1}^{n}x_ik=∑i=1nxi，即正面朝上的总次数，则上式可化为：
ln L ( p ∣ k ) = k ln p + ( n − k ) ln ( 1 − p ) \ln L(p|k)=k\ln p+(n - k)\ln(1 - p)lnL(p∣k)=klnp+(n−k)ln(1−p)
求解最大似然估计
对ln L ( p ∣ k ) \ln L(p|k)lnL(p∣k)关于p pp求导，并令导数为0：
d ln L ( p ∣ k ) d p = k p − n − k 1 − p = 0 \frac{d\ln L(p|k)}{dp}=\frac{k}{p}-\frac{n - k}{1 - p}=0dpdlnL(p∣k)=pk−1−pn−k=0
解上述方程：
k p − n − k 1 − p = 0 k ( 1 − p ) − p ( n − k ) = 0 k − k p − p n + k p = 0 k − p n = 0 p = k n \begin{align*} \frac{k}{p}-\frac{n - k}{1 - p}&=0\\ k(1 - p)-p(n - k)&=0\\ k - kp - pn + kp&=0\\ k - pn&=0\\ p&=\frac{k}{n} \end{align*}pk−1−pn−kk(1−p)−p(n−k)k−kp−pn+kpk−pnp=0=0=0=0=nk
再对ln L ( p ∣ k ) \ln L(p|k)lnL(p∣k)关于p pp求二阶导数：
d 2 ln L ( p ∣ k ) d p 2 = − k p 2 − n − k ( 1 − p ) 2 < 0 \frac{d^2\ln L(p|k)}{dp^2}=-\frac{k}{p^2}-\frac{n - k}{(1 - p)^2}<0dp2d2lnL(p∣k)=−p2k−(1−p)2n−k<0
二阶导数小于0，说明ln L ( p ∣ k ) \ln L(p|k)lnL(p∣k)在p = k n p = \frac{k}{n}p=nk处取得最大值。
所以，抛硬币正面朝上概率p pp的最大似然估计值为p ^ = k n \hat{p}=\frac{k}{n}p^=nk，即正面朝上的频率。例如，若抛100次硬币，正面朝上40次，则p pp的最大似然估计值为p ^ = 40 100 = 0.4 \hat{p}=\frac{40}{100}=0.4p^=10040=0.4。
